素数何时成双对
可以说，素数是数论中最基础而非常重要的定义。假如一个大于二的正整数，除去1和它本身以外，不是任何数的倍数，那样它就是一个素数。譬如说，6不是一个素数，除去1和它本身以外，它还是2和3的倍数；而5则是一个素数。在古希腊，大家已经有了素数的定义，对素数的研究也略有所得。在欧几里德的《原本》中，7、8、九篇讲述的是“关于整数及其比值的性质”，事实上也就是数论。在这几卷中，欧几里德指出了今天所说的“算术基本定理”：将自然数分解成素数乘积的办法是唯一的。也就是说，假如用乘法的见地来看自然数，那样素数就是自然数的最小组成单元。它们不可以被分解成更小的数的乘积，而所有自然数都可以分解成它们的乘积。那样，大家自然要问：素数作为自然数的组成单元，它们有多少个？有无限个，欧几里德不只回答了这个问题，还给出了一个经典的证明。可以反设只有有限个素数，考虑它们的积N，它是一个有限的自然数。所以，N+1
也是一个自然数，它也应该是一些素数的积。但依据假设，每个素数都不整除N+1
，这不可能！所以，素数一定有无限个。这个精巧的证明，是人类探索素数奥秘的第一步。2、3、5、7、11、13……刚开始的几个素数，要找出来并不困难，但伴随数字增大，假如一个一个数字根据概念去筛选是不是素数，工作量会非常快变得十分庞大。同为古希腊数学家的埃拉托色尼，给出了一个比较省力的算法，后人称之为埃拉托色尼筛法。第一，列出从2开始的数。然后，将2记在素数列表上，再划去所有2的倍数。依据概念，剩下的最小的数——在这里是3——一定是素数。将这个数记在素数列表上，再划去所有它的倍数，如此又会剩下一些数，取其中最小的，这样反复操作。最后剩下的都是素数。
当古希腊人用这种办法计算出长长的素数列表时，他们或许也曾惊异于素数分布的秩序缺失。这类自然数的组成单元，在自然数中的排列却毫无规律，时而挨近，时而疏远。用类似欧几里德证明中的架构，大家了解，两个相邻素数之间的距离可以要多大有多大。而伴随数目愈加大，相邻素数之间的距离好像也越拉越长。在无限延伸的自然数集中，向无穷的地平线望去，虽然仍有无穷的素数，但它们好像也愈变孤独。这种孤独甚至是可以度量的。在十八世纪的尾巴，年仅15岁的高斯独立提出了一个猜想：在n附近素数的密度大约是n的对数。也就是说，相邻素数之间的平均距离大概与它们的对数成正比，虽然增长非常慢，但却义无反顾奔向无穷。但即便是高斯，也没办法严格地证明他的猜想，要等两个世纪后的阿达玛（J. Hadamard）和德拉瓦莱普森（C. J. de la Vallée-Poussin），才能将这个猜想变成目前的“素数定理”。虽然这样，偶尔也会有成对出现的素数，它们之间只相差2。像如此成对出现的素数，在那些孤独的同伴看来，无疑是异类。它们被叫做孪生素数。
漫天星河难理清
一个自然的问题是，孪生素数有多少？孪生素数猜想断言，有无限对如此的孪生素数。但还没人能严格地证明这一点。在1849年，数学家A. de Polignac甚至猜想，对于任意的偶数2k，都有无数对相邻的素数，它们的差恰好是2k
。这不是一个容易的问题。素数是乘法的产物，而孪生素数的概念则涉及到加法。即便只不过加上2，也需要同时用到自然数的加法和乘法的性质。而在数论中的不少看上去简单但无比困难的问题，譬如哥德巴赫猜想和华林问题，核心也在于加法和乘法的交织。这种相互用途给数论学者们带来了无穷的头痛，与对咖啡的无尽渴求。同时，行外人的评价却好像异常中肯：“为何素数要相加呢？素数是用来相乘而不是相加的”。当然，假如只将素数用在只与乘法有关的问题上，事情当然简单得多。但假如大家想要更多地知道自然数的玄机，那势必涉及到加法和乘法的相互用途。缩在“容易”的圈子里从来无补于事。好似探险家一般，数学家也有着征服难点的渴望，由于在那困难的山巅上，有着无尽的风光。为了难点产生的新办法、新思想，或许会开辟出意料之外的新天地。
孪生素数的难题在于，它是一个关于素数的具体分布的问题，而大家对素数的具体分布知之甚少。素数定理只告诉大家素数的大体分布，而对于具体一个个素数的地方却没有办法。好似繁星，素数点缀着自然数的夜空，放眼望去，它们朝哪个方向无限的地平线愈见稀薄。但要想分清这无限繁星中的每一颗，即便用上最好的望远镜，也无可奈何。所以，在非常长一段时间里，对于孪生素数猜想，大家仍然停留在揣测和估计的层面。第一尝试直接猜测的，是英国数学家哈代（G. H. Hardy）和李特尔伍德（J. E. Littlewood），他们在1923年开始了一系列的猜测。
素数定理告诉大家，对于足够大的自然数N，在N附近随机抽取一个自然数n，它是素数的概率大概就是−1
。那样，在同样的区间，随机独立选取的两个数都是素数的概率就是之前概率的平方，也就是−2
。那样，在N附近随机抽取一个自然数n，n和n+2是一对孪生素数的概率是不是就是大概−2
呢？非常遗憾，并不是这样，由于n和n+2并不是完全独立的，所以不可以直接应用之前的结果。不过这个估计虽不中亦不远，只须乘上一个修正系数，借此表达两个数相差2的性质，就能得到对孪生素数密度的估计：2C2−2
。在这里，修正系数C2
是一个关于所有质数的无穷乘积。假如密度确实这样，那样显然有无限对孪生素数，孪生素数猜想应该是正确的。事实上，这是所谓“第一哈代-李特尔伍德猜想”的一个特殊状况，困难程度甚至远高于孪生素数猜想：它不只隐含了孪生素数猜想，而且对具体的分布作出了精细的估计。虽然上面的论证看起来非常诱惑，但它并非一个严谨的证明，由于它的大首要条件——素数是随机分布的——本来就不成立。素数的分布有着深刻的规律，远远不是一句“随机分布”所能概括的。但哈代和李特尔伍德并不是等闲之辈，作为当时英国的学科带头人，既然提出这个猜想，当然经过了再三考虑。目前看来，依据之一是，望向无限，素数的分布的确看上去随机：对于那些“简单”的操作（譬如说加上2）来讲，数值越大，越挨近无限的地平线，看起来也越“随机”。所以，在考虑各种素数形式的分布时，假定素数根据素数定理的密度随机分布，不失为一个估计的好方法。更为要紧的是，数值计算的结果也与哈代和李特尔伍德的猜测所差无几。这更增添了大家对这个估计的信心。然而，猜测只不过猜测，不是严谨的证明。无论用数值计算验证到什么高度，有多符合，对于无限而言，都是沧海一粟。李特尔伍德本人就曾证明过一个类似的结论。大家此前猜测，小于某一个数N的素数个数π
一定小于所谓的“对数积分”函数li
，而依据素数表，这个规律直到10的14次方都成立。但李特尔伍德在1914年证明了一个惊人的结论：对于足够大的N
，不只π
可以大于li
，而且它们的大小关系会无穷次地逆转！但直至今，对于首次打破这个规律的N，大家仍然不了解它的具体数值，只了解它大概是个有三百多位的数。这个例子足以说明素数可以多么深不可测而又出人意料，同时提醒大家，面对无限，不可以掉以轻心。无论有多少计算的证据，都不可以随便下定论。征服无限的工具，只有严谨的数学证明。
狂沙淘尽始得金
既然很难了解孪生素数具体有多少，那样可以换个思路：孪生素数最多能有多少呢？这就是数学家的思路，假如正面久攻不下，那样就从侧面包围。当很难直接得到某个量时，数学家的“本能”会引导他们，尝试从上方和下方去逼近，证明这个量不可能小于某个下界，或者不可能大于某个上界。这样慢慢缩小包围圈，就有期望到达最后的目的。而在1919年，挪威数学家布伦（V. Brun）走的就是这么一条路：他证明了，孪生素数的密度不可能超越O22)。籍此，他证明了所有孪生素数倒数的和是有限的。要了解，所有素数倒数的和是无穷大，可见孪生素数在素数中有多么稀有。大家将所有孪生素数的倒数和称为布伦常数，它的具体数值大约是1.90216...。关于布伦常数，还有个有趣的小插曲。1994年，美国一位教授在计算布伦常数时，无意中发现当时英特尔企业的奔腾处置器在计算浮点除法时，在极稀少的状况下，会产生错误的结果。虽然英特尔声明这种错误对于平时用来讲不足为患，但对于买家来讲，这种托辞实在很难同意。最后，英特尔不能不承诺免费更换有问题的处置器。帮助发现硬件问题，这可算是数论在日常的一个小小应用。
但布伦的证明意义远不止于此。他的这个证明，正是现代筛法的开端。布伦所用的筛法，根源可以追溯到古希腊的埃拉托色尼筛法。还记得大家如何使用埃拉托色尼筛法列出素数表吗？每次获得一个新的素数，大家都要划去所有新素数的倍数，然后剩下最小的数又是一个新的素数。用类似的办法，大家可以估计在某个区间中，譬如说在N
和2N
之间，大约有多少素数。第一，大家假设手头上已有足够大的素数表（大概到2N−−−√
的所有素数）。用这个素数表，大家计划把从N
到2N
的所有合数都划去一遍，剩下的就是素数。对于每一个素数p
，大家将所有p
的倍数划去一遍。在N
和2N
之间，对于每一个素数p
，大约有N/p
个如此的倍数。当然，假如N
不是p
的倍数，如此的估计会有误差，但在数学家看来，只须能把握误差的大小，最后仍然可以得到正确的结论。如此，剩下的数的个数就是N
减去所有N/p
的和，是如此吗？并不尽然，由于有的数可能被划去了几次。譬如说1000，它能被2整除，也能被5整除，于是在处置2和5的倍数时，它分别被划去了两遍。对于每一对素数p1,p2
，每一个p1p2
的倍数在之前都被划去了两遍，而大家只期望将它们划去一遍。为了得到正确结果，大家需要对这类数作出补偿：将这类数加回去，一共是N/p1p2
个，加上一点点误差。但这就是尽头吗？假如考虑三个素数的倍数，大家发现补偿得又太多了，需要重新划去；继续考虑四个素数的倍数，划去得又太多了，需要重新补偿……这样一正一反，损有余，补不足，一项一项估计下去，才能从自然数的海洋中，精确筛选出所有大家想要计算的那些素数。但大家是不是需要做到这样精细呢？在整个计算中，虽然每一项看上去简单，但简单的代价是误差。虽然每一项的误差非常小，但由于数目巨大，累土而成九层之台，累计误差可以比需要估计的量还要多。所以，在现代的筛法中，过于精细反而是一种累赘。况且，大家的目的是获得上界或者下界，所以结果不需要完美，仅需误差可控。一般而言，因为越到后面的项贡献越小，总是忽视它们的计算，直接将它计入误差。如此可以有效降低需要计算的项的数目，同时也能间接降低误差。当然，假如忽视的项太多，它们引起的误差又会太大，也会致使不够精确的结果。布伦相对于前人的改进，正在于此。假如盲目计算所有些项，势必深陷误差的泥沼。而布伦则大胆截去那些贡献非常小却占绝大部分的项，而对于剩下的项也果断使用更粗放的近似来简化计算。虽然看上去不依章法，但通过仔细调校，布伦得以有效控制总误差，从而获得他想要的结果。布伦的这个思路，开启知道析数论之中一大类办法的大门。大家不了解如何数素数，是由于它们的分布实在很难捉摸。而目前，布伦的筛法指出了一条用简单的集合来逼近素数集合的道路，这自然令数学家如获至宝。在更精细的筛选与更微小的误差之中探寻那一线的平衡，这大概是筛法的醍醐。但如此的平衡，显然依靠于大家怎么样估计每一项的具体数值。可以每项分开估计，但合起来也无伤大雅。无论做法怎么样，估计的误差越小，筛选可以越深入，结果也越逼近真实。即便估计办法不变，假如有更好的办法决定每一项的取舍，取贡献大而误差小之项，而舍贡献小而误差大之项，当然也能得到更好的结果。但为什么拘泥于每一项？对于每一项，为何要么取要么不取，不可以站在中间立场吗？只须能控制误差，将每一项拆解开来，依据贡献和误差来赋予不一样的权值，再求和，如此的结果岂不是更精细？再者，有时不拘泥于素数，放松限制去筛选那些“殆素数”，也就是那些只有少数几个素因子的数，在某些状况下也能得到更好的结果。在严谨的首要条件下，只须能做出更好的结果，数学家对于突破原有思路毫不犹豫。这就像一场对素数的围捕战。数学家们拿着筛法这个工具，不断打磨它、改装它，不断训练，正着用，反着用，与别的范围的工具配合着用，绞尽脑汁创造新的使用方法，殚精竭力用它来围捕那些调皮的素数。欲擒故纵，反客为主，无中生有，李代桃僵，数学家们在对各种各样素数的围捕中，借着筛法，将一套兵法使得淋漓尽致，精彩之处，三国亦为之失色。在筛法的力量下，孪生素数终于露出了一鳞半爪：在1920年，同样是布伦，证明了有无穷对9-殆素数，它们之间只相差2。所谓9-殆素数，或者更普通的k
-殆素数，就是那些至多有k
个素数因子的自然数（包含重数）。而1-殆素数就是素数。模仿哥德巴赫猜想的记号，布伦证明的就是（9 - 9）。在1947年，匈牙利数学家雷尼（A. Rényi）证明了，存在一个常数k
，使得有无穷对自然数m,p
，其中p
是素数，m
是一个k
-殆素数，而两者之间只相差2。也就是说，他证明了（k - 1）。在1950年，挪威数学家塞尔伯格（A. Selberg）证明了，有无穷对整数n
和n+2
，它们的素因子一共至多有5个。而孪生素数定理等于素因子至多有2个的状况。在1966年，意大利数学家E. Bombieri与英国数学家H. Davenport证明了，孪生素数的密度至多是8C2−2
。也就是说，孪生素数的数目至多是哈代与李特尔伍德所估计的4倍。
在1978年，在证明了哥德巴赫猜想的（1 + 2）后，陈景润用相同的筛法改进了雷尼的结果：他证明了，有无穷对自然数m,p
，其中p
是素数，m
是一个2
-殆素数，而两者之间只相差2。也就是说，他证明了（2 - 1）。而最新的结果则是D. Goldston、J. Pintz和C. Yildirim在2009年发表的。他们证明了，两个素数之间的差距，相比起平均值而言可以很小。在假定某个强有力的猜想后，他们还证明了，存在无限对素数，它们之间相差不过16，与目的的2只有八倍的差距。但问题在于，即使16这个数目相当诱惑，但他们的假定过于强大，强大得不像是对的，也使大家对他们结果的信心打了个打折。在整个过程中，数学家们动用知道析数论中的很多工具：L函数、西格尔零点的估计、多种版本的筛法、克鲁斯特曼和的估计、自守形式，这样等等，不一而足。每样工具，都是心血的结晶。但即使这样，大家离孪生素数猜想还非常遥远。尽管Goldston、Pintz和Yildirim的结果很强大，但也不可以在无假定的状况下，推出有无穷对素数，它们相差恰好是一个有限的确定值。虽然只差那样一点点。只须关于所谓“素数分布水平”的引理稍微强一点点，就能得到有无穷对相差不远的素数的结论。但就在这个关口，大家却处处碰壁。期望就在伸手可及之处，却好像一直差那样一点点。“此路不通”的想法开始弥漫开来。在众人束手无策之际，当时默默无闻的张益唐向《数学年刊》提交了一份论文。
一份三十公分的意大利面包，纵向剖开，抹上金枪鱼泥，放上四片奶酪，放到烤炉烤一分钟，撒上生菜，铺上酸黄瓜和番茄，包起来，切成两半，就是又一个三明治。这也是张益唐过去蹉跎的岁月。在博士毕业后，由于种种缘由，虽有真才实学，但张益唐未能在学术界找到一份工作。为了生活，他不能不打工保持生计。即便在他的同学帮助他，找到新罕布什尔大学的一份代课讲师工作后，即便在转正成为一名大受学生好评的讲师后，正式而言他仍不是一名研究职员。时运不齐，命途多舛；冯唐易老，李广难封。但数学不需要官方认同，研究也无需正式的职位。张益唐受过正式的数学研究练习，有扎实的功底，有充分的能力，了解如何去做研究，心里也时刻揣着数学。即便没正式的职位，他骨子里仍然是一位研究数学的学者。而他心里装着的，正是素数的分布问题，尤其是孪生素数。即便没正式的研究职位，他仍然做着一名研究者会做的事。他紧跟目前分析数论学界的进步，阅读了J. Friedlander和H. Iwaniec在筛法上的突破性工作，阅读了Goldston，Pintz和Yildirim关于素数间隔的工作，还有不少不一样的新工作。他考虑着新的办法，尝试沿着前人的路径走下去，相信可以用新的方法，把道路走通，证明有无穷对相差不远的素数。但这谈何容易！即便从Goldston等人强有力的办法出发，要得到想要的结果，也难倒了海量学者。张益唐花了三年时间，不断尝试新的办法，屡战屡败，屡败屡战。数学研究，莫不如是。终于，在2012年6月，他到朋友家作客时，灵光一闪，找到了开启重点的钥匙。要说起来，张益唐的办法并不是那种异军突起的新构想，而是借助现有些工具，用新的方案将它们组合起来，再加上一点点新的思想。Goldston等人所用的筛法相对精细，但却稍欠回旋空间，而张益唐稍稍放松了这个筛法，虽然能作出的估计稍欠精细，却换来了更大的游刃之余，得以对筛法中误差与精细的天平作出更精巧的调整，结合一些新的结果，尤其是Iwaniec等人的工作，反而能获得更好的估计。箇中精彩之处，恕笔者学识浅薄，很难一一尽述。用他的新筛法，张益唐证明了，有无穷对素数，它们相差不过七千万。他将他的新办法与新结论，用简洁明了的语言，写成了一篇论文，投稿到数学界的顶级期刊《数学年刊》。这篇论文名为Bounded gaps between primes（《素数间的有界间隔》）。收到这篇论文的编辑想来十分意料之外。在一所不起眼的大学做着讲师的工作，在数学的研究一同体中也不活跃，之前一篇论文还是十多年前发表的，如此的一位默默无闻的数学家，忽然声称自己解决了一个困扰海量学者几十年的问题，引起的第一反应自然是怀疑。但毕竟，数学证明就是他学识的证明，他的论文写得这样了解了解，而所用的办法又是这样合情合理，这冲破了原有些一点点怀疑。编辑觉得，张益唐的结论非常可能是对的，而他的办法对于分析数论而言，也会是个要紧的进步。由于不少数学证明都相当艰深晦涩，即便是同一个范围的专家，有时也要花上一大段时间来咀嚼揣摩，才能判定证明是不是无误。所以，数学论文的审稿时间一般不短，少则数月，多则数年，期间匿名审稿人一般需要通过编辑与作者多次通信，才能决定一篇论文的命。而张益唐的论文是这样激动人心，编辑觉得他们等不起这样漫长的时间，于是对他的论文进行了“特殊对待”。他们请了筛法方面的大伙Iwaniec教授予另一位匿名审稿人（可能是Goldston）来审核这篇论文，非常快就有了回音。两位审稿人都觉得这篇文章无明显的错误。事实上，评审报告中写着如此的评价：“论文的主要结果是第先进的”，“在素数分布范围的一个标志性的定理”。从论文寄出到审稿结束，仅仅花了三个星期的时间。自此，消息不胫而走。在哈佛大学的丘成桐教授，了解这个消息之后，非常快邀请了张益唐来哈佛做关于他的工作的学术报告。消息非常快在数学界与新闻界传开，张益唐几乎是一夜之间，从默默无闻变成举世知名。据了解，他的老婆听说有记者要采访时，跟张益唐讲的第一件事，就是把发型整理一下。作为励志故事，这个结尾再好不过了。
路漫漫其修远兮
当然，故事仍没有结束。在数学界中，对于久攻不下的问题，一旦有人打破一个缺口，别的人非常快就会跟进，把缺口弄得更大。张益唐的结果也不例外。在张益唐的论文中，他给出的结果是，存在无数对相邻素数，它们的差相差不过7000万。但这只不过一个估计，并不是张益唐的办法能得到的最好结果。在论文出炉后，一些数学家吃透了新办法，开始试着改进这个常数。张益唐的论文在5月14号问世，两个星期后的5月28号，这个常数降低到了6000万。仅仅过了两天的5月31号，降低到了4200万。又过了三天的6月2号，则是1300万。次日，500万。6月5号，40万，连原来的百分之一都不到。在笔者写下这行的今天，剩下的只有区区的25万。这类结果，可以说是网络的结晶。如此快的改进速度，对于仅仅依赖一年发行数次的期刊做研究的年代，完全是不可想象的。而在今天，数学家们在网上，你一言我一语，不停发布最新的考虑和计算，以最高的速度，汇聚所有人的智慧，才能创造出这样奇观。张益唐带来的影响不止于此。借助他的新办法，可以解决更多的问题。Pintz指出，从张益唐的工具出发，可以得知存在一个常数C，使得对于每C
个连续偶数，都存在无穷对相邻的素数，它们的差是这类偶数之一。也就是说，Polignac的猜想，起码对于1/C
的偶数来讲是正确的。所以，不只素数本身很难捉摸，它们之间的差更是剧烈起伏不定。事实上，大数学家Erdős在1955年就猜测，相邻两对素数差的比值，可以要多大有多大，要多小有多小。而同样借用张益唐的工具，Pintz不只证明了这个猜想，而且证明了比值之差以不低的速度趋向于两极分化。用他本人的话来讲：在刚刚过去的几个月里，一系列十年前会被觉得是科幻小说的定理都被证明了。但孪生素数猜想本身又怎么样呢？大家了解，假如将张益唐论文中的常数从7000万改进到2，就等于证明孪生素数猜想。既然目前数学家们将常数改进得这样的快，那样大家是不是已经非常接近最后的目的呢？非常遗憾，事实上还差非常远。张益唐的办法，本质上还是筛法，而筛法的一大问题，是所谓的“奇偶性问题”。简单来讲，假如一个集合中所有数都只有奇数个素因子，那样用传统的筛法没办法有效估计这个集合至少有多少元素。而素数组成的集合，恰好是这类。正因这样，当陈景润做出哥德巴赫猜想的突破性结果（1 + 2）时，他得到的评价是“榨干了筛法的最后一滴油”。由于假如只靠筛法，是没办法证明哥德巴赫猜想的。（1 + 2）是筛法所能做到的最好结果。但数学家们从不固步自封。要想打破“奇偶性问题”的诅咒，可以将适合的小白段引入传统筛法，籍此补上筛法的缺点。张益唐的出发点——之首要条件到Goldston，Pintz和Yildirim的结果——正是这种新思路的成就。但对于孪生素数猜想而言，这类进展仍然远远不够。学界觉得，虽然不可以判定张益唐的办法，即便经过改进，是不是仍然不可以解决孪生素数猜想，但可能性好像微乎其微。但不可以低估人类的才智。创造割圆术的刘徽，他对于无知的态度更合适大家：敢不阙疑，以俟能言者！
