上海进才中学 2017 学年第一学期期末考试
高二数学试题
1、填空题
1. 复数 z = 1+ i + i ，则其共轭复数 z =__________．
2. 已知直线l1 : mx + 3y + m - 3 = 0 与l2 : x - 2 y + 2 = 0 垂直，则 m =__________．
3. 假如复数 z = m2 + 5m + 6 + i 为纯虚数，那样实数 m 的值为____________________．
2
4. 若方程 x + y = 1表示双曲线，则实数t 的取值范围为____________________．
4 - t t -1
5. 已知抛物线 y2 = 8x 的焦点为 F ， P 在此抛物线上， 且
xP =__________．
PF = 5 ， 则点 P 的横坐标
6. 
一条渐近线方程为 y =
3x ，且过点的双曲线标准方程为____________________．
7. 若 z Î C 且 z + 2 - 2i = 1，则 z -1- 3i 的最大值是____________________．
8. 
假如椭圆 x + = 1 的弦被点 平分，则这条弦所在的直线方程是____________________．
36 9
9. 若直线 y = ax + 2 与曲线 y2 = 4x 只有一个公共点，则实数 a 的取值是____________________．
10. 若抛物线 y2 =
4x 的焦点在圆 x2 + y2 = 1内，则实数 m 的取值范围是____________________．
m
11. 过原点的直线l 与曲线C :
x2 + 2
3
= 1 相交，若直线l 被曲线C 所截得的线段长不小于 ，则
直线l 的倾斜角a的取值范围____________________．
12. 已知圆 M : 2 + 2 = 1 ，直线l : y = kx ．下列四个命题：
（1） 对任意实数 k 与q，直线l 和圆 M 相切；
（2） 对任意实数 k 与q，直线l 和圆 M 有公共点；
（3） 对任意实数q，必存在实数k ，使得直线l 和圆 M 相切；
（4） 对任意实数 k ，必存在实数q，使得直线l 和圆 M 相切． 其中真命题的序号是____________________．（填所有真命题的序号）
2、选择题
13. 已知OA = ,OB = ，则 AB 在复平面上对应的复数是（ ）
A. 5 - i
x2 y2
B. 3 + 2i
x2 y2
C. 2 - 3i
D. -2 + 3i
14. 若椭圆
4
+ = 1与双曲线
a2 a2
- = 1有相同的焦点，则实数a 的值为（ ）
2
A. 1 B. -1
C. ±1
D. ±2
15. 方程
= 0 表示的曲线是（ ）
A. B. C. D.
x2 y2
2 2 2
16. 已知双曲线
-
a2 b2
= 1 ， 圆 O : x + y = a
， 过双曲线上除顶点任意一点
P 作圆C 的两条切线，其切点分别为 A, B ，若 AB 与 x 轴、 y 轴分别交于 M , N 两点，则
b2 a2
2
2 = （ ）
OM ON
A. b B.
a2
b2 a2
- C.
a2 b2
D. - a b2
3、解答卷
17. 已知关于 x 的方程 2x2 + bx + c = 0 有一个虚根 2 - 3i ，求方程的另外一个根及实数
b, c 的值．
18. 已知椭圆的一个顶点和一个焦点分别是直线 x + 3y - 6 = 0 与两坐标轴的交点，求此椭圆的规范方程．
19. 已知动圆过定点 P ，且与定直线l : x = -1相切．
（1） 求动圆圆心的轨迹 M 的方程；
（2） 
设过点 P 且斜率为- 的直线与曲线 M 相交于 A 、 B 两点，求线段 AB 的长．
20. 
曲线的中心在原点，焦点 F1, F2 在坐标轴上，一条渐近线方程为 y = x ，且过点，点 M
在双曲线上，满足ÐF MF = p．
1 2 3
（1） 求双曲线方程；
（2） 求VF1MF2 的面积；
（3） 过 作直线l 交双曲线C 于 A, B 两点，若OP = OA + OB ，是不是存在这种直线l ，使
OAPB 为矩形？若存在，求l 的方程；若没有，说明理由．
2 y2
21. 如图，椭圆 x + = 1的左、右顶点分别为 A 、B ，双曲线G 以 A 、B 为顶点，焦距为 2 ．点
4
P 是G 上在第一象限内的动点，直线 AP 与椭圆相交于另一点Q ，线段 AQ 的中点为 M ，记直线
AP 的斜率为 k ， O 为坐标原点．
（1） 求双曲线G 的方程；
（2） 求点 M 的纵坐标 yM 的取值范围；
（3） 是不是存在定直线l ，使得直线 BP 与直线OM 关于直线l 对称？若存在，求直线l 的方程；若没有，请说明理由．
1、 - i
参考答案
2、6 3、 -2
4、 U
5、3 6、
y2 - 2 =
3
7、 +1
8、 x + 2 y - 8 = 0
9、0 或 __________
10、[1, +¥)
11、é0,__________ù U é ____________________,pö
12、（2）
2
（4）
ëê 4 úû
ëê 4 ÷
13-16、DCDA
17、 2 + 3i ； b = -8 ； c = 26
18、 x
y2 y2
+ = 1或
+ x2 =
40 4 40 36
19、（1） y2 = 4x ；（2） 16
3
20、（1） x2 - y2 = 1；（2） S
V F1MF2
= b2 cot p =
6
；（3）没有
2 y2 1
21、（1） x - = 1；（2） ；（3）存在，直线l 的方程为： x =
